上周三蹲在区里一所普通公办的六楼教室后排，听一节六年级的“用字母表示数”。老师拿着课件念了三页定义，底下小孩转笔的转笔，摸橡皮的摸橡皮。有个扎羊角辫的小姑娘举了三次手，站起来问“老师，为什么3个苹果加3个梨不能写成3a啊？”老师愣了两秒，说“这是数学规定，记住就行，考试要考”。我坐在后排差点把手里的保温杯捏变形。
把“抽象”等同于“难、空、要背”，是最离谱的教学偏差
说实话，我见过太多老师对数学抽象的理解，从根上就错了。很多人觉得，数学抽象就是要把所有具体的、有温度的东西全删掉，剩下干巴巴的符号、逻辑、规则，学生能对着这些符号想明白，就算有抽象能力了。至于这些符号是怎么来的，和学生的生活有什么关系，不重要。数学抽象的核心从来不是“脱离具体”，而是“从具体里长出通用的规律”。你要是把“长出规律”的整个过程全删了，直接把结果甩给学生让他背，那不叫培养抽象能力，那叫培养背书机器。
之前在教研活动上和几个老师聊起这个事，有个教了二十年数学的老教师说，他刚教书的时候也这么干。教“方程的意义”，上来就把“含有未知数的等式叫方程”这句话写在黑板正中间，让学生抄三遍，然后做十道判断题，什么3+2=5是不是方程，x=0是不是方程，2x+3是不是方程。学生练个两节课，考试的时候这类题基本不会错。但他后来发现，这些学生到了初二学应用题的时候，根本不会自己列方程。为什么？因为他们从来没理解过方程到底是干嘛的——方程不是一个要背的定义，是用来把现实里的数量关系，用符号表示出来的工具。你跳过了“天平两边平衡”的具象感知，跳过了“把未知的量设成x”的思考过程，直接让学生背定义，他当然只会做判断题，不会列方程。
这里其实可以用认知负荷理论来解释。很多老师觉得，把具象的例子全删掉，直接讲抽象概念，能减轻学生的认知负担。刚好反过来。当学生没有足够的具象经验做支撑的时候，那些干巴巴的符号、规则，全是要占用工作记忆的零散信息。他要花全部的精力去记“什么是方程”“什么是同类项”“什么是负数”，根本没有多余的精力去理解这些规则背后的逻辑。到了综合应用的时候，他脑子里的知识点全是散的，根本串不起来。
我之前见过一节上得特别好的“用字母表示数”的课。老师一上课就拿了个存钱罐，晃了晃，能听到硬币哗啦响。她问学生“这里面有多少钱？”学生说不知道。她又问“那我们能不能给这个不知道的钱数起个名字？”有学生说叫“未知的钱”，有学生说叫“存钱罐的钱”，最后老师说“为了方便，我们可以给这个不知道的数起个通用的名字，比如叫a”。然后她在黑板上写“存钱罐里有a元”。接着她往存钱罐里放了3个1块的硬币，问“现在里面有多少钱？”学生齐声说“a+3元”。就这么一个小小的存钱罐，学生瞬间就懂了，a不是什么飘在天上的字母，是那个不知道具体数的存钱罐里的钱。后来有学生自己说“那我要是从存钱罐里拿出来2块钱，就是a-2元对吧？”老师顺着这个话，又问“那要是我有3个一样的存钱罐，总共的钱数是多少？”学生说“3a元”。整节课没有念一句定义，没有让学生抄一个公式，但所有学生都知道a是干嘛的，a+3、3a是啥意思。这才是真的在培养数学抽象——学生是自己从“不知道具体数”的场景里，慢慢把字母这个工具提炼出来的，不是老师硬塞给他的。
数学抽象的爬坡，从来不是“跳”上去的，是踩着具象的台阶走上去的
很多人觉得，抽象能力是天生的。聪明的小孩看一眼符号就懂，笨的小孩怎么教都不会。真不是。维果茨基的最近发展区理论讲得很清楚，学生的能力发展，从来不是靠自己跳能够到的，是靠老师搭的、刚好在他现有水平和潜在水平之间的支架，一步一步走上去的。所有跳过具象感知直接灌输抽象符号的教学，都是在给学生的数学学习埋雷。
就拿小初衔接最容易出问题的“代数式”内容来说。我之前蹲过一节初一的数学课，老师一上课就讲“同类项的判断规则：字母相同，相同字母的指数也相同，这样的项可以合并”。讲完规则就让学生做题，什么3x+2x等于多少，3x+2y等于多少，x²+x等于多少。底下错得一塌糊涂。有个学生站起来问“为什么x和x²不能合并啊？它们都是x啊”。老师说“这是规则，记住就行”。我坐在后排听得直叹气。
同样的内容，另一所学校的老师是怎么上的？她做了一整套的磁贴教具，上面分别印着苹果、梨、香蕉、x、y、x²。上课的时候先问学生“如果我手里有3个苹果，再给你2个苹果，你一共有几个苹果？”学生说5个。她又问“那我手里有3个苹果，给你2个梨，能不能直接凑成5个东西？”学生哄堂大笑，说不能，因为苹果和梨不一样。她把苹果的磁贴拿下来，换成x，说“那3个x加2个x，能不能凑成5个x？”学生说能。再把梨换成y，说“那3个x加2个y，能不能凑？”学生说不能，因为x和y不一样。最后她把x²的磁贴拿出来，问“那x和x²能不能凑？”有学生反应快，说“x就像苹果，x²就像苹果派，东西不一样，不能凑”。整节课没有让学生背一句规则，但所有学生都把同类项的判断逻辑摸得透透的。
你看，这个过程哪里需要什么“天才的抽象能力”？学生只是把自己早就有的生活经验——相同的东西才能凑在一起算总数——和新的数学符号连起来了。抽象能力不是什么玄乎的东西，就是这种“连起来”的能力。你给学生搭的台阶越稳，他爬得就越轻松。
我之前带过一个刚上初一的小孩，小学的时候数学每次考95分以上，刚上初一第一次代数式考试只考了58分。他说老师上课讲的所有规则他都背了，但是一看到带字母的式子就懵，不知道要算什么。我花了两个小时，拿他平时攒的奥特曼卡片当例子：“一张卡片2块钱，你买x张要花多少钱？”他想了两秒说“2x块”。我又问“要是老板说买满10张就减5块，那总花费是多少？”他说“2x减5啊”。就这么两个例子，他突然就通了。他之前不是抽象能力差，是之前的老师从来没把那些孤立的符号，和他熟悉的生活经验连起来。他脑子里的数学是没有根的，风一吹就倒。
从建构主义的角度说，所有的抽象知识，都不是老师能直接传递给学生的。学生必须自己把新的知识，和自己已经有的经验、已经有的认知结构连起来，才能真的把知识变成自己的。你要是硬把抽象的符号塞给他，他只能靠机械记忆存下来，过不了多久就全忘了。
别把“抽象训练”做成“刷题训练”：两个最常见的认知误区
不过话说回来，我也不是说只要举生活例子就万事大吉了。现在很多学校一提到培养数学抽象，就走两个极端，看着是在训练抽象能力，其实根本没摸到边。
第一个误区，是觉得抽象训练就要多做难题，题目越难，抽象程度就越高。很多学校给小学高段的学生刷奥数题，把鸡兔同笼的题目变形到学生读都读不懂——什么鸡和兔关在笼子里，数头有多少，数脚有多少，又跑进去几只鸡，又跑出来几只兔，最后问原来有多少只鸡。学生练了一堆这样的题，遇到稍微变个场景的题就不会了。其实根本不是。鸡兔同笼的核心抽象逻辑，是“两种东西混在一起，已知总数量和总特征，求每种东西的数量”。你要是让学生拿画图的方法，先画10个脑袋，每个脑袋下面画2条腿，多出来的腿是兔子多出来的，慢慢算出来鸡和兔的数量，这个过程就是在培养抽象能力——学生能从“鸡和兔”的具体场景里，提炼出“假设调整”的通用逻辑。下次遇到“停车场里有汽车和摩托车，总共有多少轮子，求各有多少辆”的问题，他就能把这个逻辑迁过去。要是你跳过了画图、感知的过程，直接让学生背公式，刷变形题，那不是抽象训练，是条件反射训练。和训练小狗听见铃声流口水没区别。
第二个误区，是觉得数学抽象就是要脱离生活，越不接地气越高级。很多老师觉得，上课举生活例子是“幼稚”，是给一二年级小孩上的，到了高段、初中，就要全讲符号，讲逻辑，不能有生活的东西。错得离谱。真正的抽象能力，是能把从一个场景里提炼出来的规律，迁移到完全不相关的另一个场景里。你要是从初一开始就把所有生活的联系全切断，学生到初二学一次函数的时候，根本理解不了k和b到底是什么意思，只会背“k是斜率，b是截距”。遇到实际应用题，比如“打车费是起步价8块，超过3公里每公里1.5块，总车费和行驶里程的关系是什么”，他根本不知道怎么把现实的数量关系，对应到y=kx+b的模型上去。
我之前听一节初中的物理课，老师讲“匀速直线运动的路程公式s=vt”。上完课我问旁边的学生，这个公式和之前数学上学的一次函数有啥关系。学生想了半天说“好像都是一个变量跟着另一个变？”你看，这就是抽象能力没打通的表现。数学里的一次函数模型，本来就是从“路程和速度时间的关系”“总价和单价数量的关系”这些具体场景里抽象出来的，结果因为上课的时候把这些联系全切断了，学生把数学的公式和物理的公式当成了两个完全没关系的东西，根本不会迁移。
现在很多评价题也有这个问题。考学生的数学抽象能力，就出一道特别难的代数题，看学生能不能做出来。其实真正的抽象能力，根本不是看你能做多难的题，是看你能不能从一个看似和数学没关系的场景里，提炼出数学的规律。比如你给学生一个场景：“学校要组织春游，租大巴，每辆大巴能坐45个人，总共有270个学生，需要租几辆车？”普通的学生列个270/45=6的式子，算出来6辆。有抽象能力的学生，他会自己在脑子里形成一个通用的模型：“总人数/每辆车的座位数=需要的车数，要是除出来有余数，就要多租一辆”。下次遇到“装苹果，每筐装12斤，总共150斤苹果，需要几个筐”的问题，他直接就能用这个模型解决，不用老师再重新讲一遍。这才是真的抽象，不是你刷了多少道难题，是你能把一个场景里的通用规律抽出来，用到别的场景里去。
其实说穿了，培养数学抽象根本不需要什么高大上的方法。就是每上一节课的时候，多花个三五分钟问问自己：这节课要教的抽象概念，学生之前有什么相关的生活经验？我要给他们搭几个台阶，才能从他们熟悉的东西，慢慢走到那个抽象的概念上？比如教“负数”，你不要上来就说“比0小的数是负数”，你拿温度计让他们看零上和零下的区别，拿电梯按钮让他们看地上和地下的区别，拿记账本让他们看收入和支出的区别。等他们攒够了这些“相反意义的量”的经验，你再告诉他们，为了方便表示这些相反的量，我们把其中一种记成正的，另一种记成负的。这时候负数就不是课本上冷冰冰的概念，是他们自己生活里能摸到的东西。
上次听那个用磁贴教合并同类项的老师说，她班上之前最害怕数学的那个男生，现在回家会给爸妈讲“什么是同类项”，说“就像你买的菜，土豆和土豆放一起，西红柿和西红柿放一起，不能混着算钱”。我听了特别开心。你看，数学抽象哪里有那么难？它从来不是给天才准备的思维游戏，是每个小孩都能学会的、用来把复杂世界理清楚的工具。你别把它供在天上，别把它做成要背的考点，别把它和学生的生活隔得远远的，它自然就会在小孩的脑子里长出来。